20230929

数学

　今日の分のブログの更新どうしようかなと思ったんですが、めちゃくちゃ眠く文章を書けるコンディションにないので、数学の問題を貼ってお茶を濁すことにします。電車での移動中に考えていた問題で、数 II の範囲で解くことができます。

 

問題
　n は 3 以上の整数とする．3 以上の整数 k に対して，以下のような条件を考える．

（条件）：ある実数係数 n 次多項式 f \left( x \right) と実数 a があって，k 個の数 f\left( a \right), f\left( a+1 \right), f\left( a+2 \right), \dots, f \left( a+k-1 \right) はこの順に等差数列をなす．

\left( 1 \right)　k \leq n ならば，条件を満たす多項式 f\left( x \right) および実数 a が存在し，k \geq n+1 ならば，条件を満たす多項式 f\left( x \right) および実数 a は存在しないことを示せ．
\left( 2 \right)　n 個の数 f\left( a \right), f\left( a+1 \right), f\left( a+2 \right), \dots, f \left( a+n-1 \right) がこの順に等差数列をなし，n 個の数 f\left( b \right), f\left( b+1 \right), f\left( b+2 \right), \dots, f \left( b+n-1 \right) もこの順に等差数列をなすのであれば，a=b であることを示せ．

 

　以下，解答。

　\left( 1\right) について．

　まず，f\left( x \right)=\left( x-1\right) \left( x-2\right) \dots \left(x - n\right) とすると，f\left( 1\right)=f\left( 2\right)=\dots = f\left( n \right)=0 であり，これら n 個の数字は公差 0 の等差数列をなす．したがって，k\leq n の場合はこれで証明できた．

　k\geq n+1 のときについて考える．このとき，必要であれば平行移動を行うことで，f\left( 0 \right), f\left( 1\right), \dots, f\left( k-1 \right) がこの順に等差数列であるとしてよい．特に，f\left( 0 \right), f\left( 1\right), \dots, f\left( n-1 \right) がこの順に等差数列をなす．f\left( 0 \right)=p，公差を d とすると， l=0,\dots , n-1 に対して， f\left( l \right)=p+dl．ここで，g\left( x \right)= f\left( x\right) -\left( p+dx \right) とおくと，g\left( x\right) は n 次多項式であり，x=0,1,\dots,n-1 を解に持つ．したがって，因数定理より g\left( x\right)=rx\left( x-1 \right) \dots \left( x- n+1\right) とかける．ここで r は 0 でない実数．ゆえに，f\left( x\right) =rx\left( x-1 \right) \dots \left( x- n+1\right) +p+dx と表せる．すると，f\left( n \right)=r \cdot n!+p+dn となるので，f\left( n \right) -f\left( n-1\right) =r \cdot n!+d であり，これは公差 d に一致しないので矛盾．したがって，仮定が誤りであり，k \geq n+1 のとき，条件を満たす多項式 f\left( x \right) および実数 a は存在しない．

　\left( 2\right) について．

　\left( 1\right) の後半と同様の議論により，a=0 としてよく，f\left( x \right)=rx\left( x-1 \right) \dots \left( x- n+1\right) +p+dx と表せる．このとき，b=0 であることを示せばよい．f\left( b+1 \right) - f\left( b \right)=rnb\left( b-1\right) \dots \left( b-n+2 \right) +d．また，f\left( b+2 \right) - f\left( b+1 \right)=rn\left( b+1\right) b \left( b-1\right) \dots \left( b-n+3 \right) +d．これらは公差として一致する．b\neq 0,\dots , n-3 であれば，r\neq 0 より，b-n+2=b+1 となるが，これは矛盾．よって，b=0,\dots , n-3 のいずれか．いま，f\left( 0 \right), \dots, f\left( n-1\right) は等差数列であることに注意すると，\left( 1\right) の結果より，f\left( n \right) はこの等差数列に含まれない．このことと，n 個の数 f\left( b \right), f\left( b+1 \right), f\left( b+2 \right), \dots, f \left( b+n-1 \right) がこの順に等差数列をなすことから，b=0 でなくてはならない．

 

 

　(2) は要するに「実数係数 n 次多項式において，等差数列は一ヵ所にしか作れない」ということですね。